2017年高考理科数学三轮冲刺热点题型 中档大题规范练习中档大题规范练1 三角函数

出处:老师板报网 时间:2023-02-17

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中档大题规范练中档大题规范练1 三角函数1.(2016·浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.(1)证明 由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解 由S=得absinC=,故有sinBsinC=sinA=sin2B=sinBcosB,由sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.2.(2016·北京)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解 (1)f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==sin,由ω>0,f(x)的最小正周期为π,得=π,解得ω=1.(2)由(1)得f(x)=sin,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).3.已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的最大值及取得最大值时x的集合.解 (1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=sin(2x-),令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)由已知,得g(x)=sin(x+),∴当sin(x+)=1,即x+=2kπ+(k∈Z),也即x=2kπ+(k∈Z)时,g(x)max=.∴当{x|x=2kπ+(k∈Z)}时,g(x)的最大值为.4.(2016·四川)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.(1)证明 根据正弦定理,可设===k(k>0),则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.所以sinAsinB=sinC.(2)解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA==.所以sinA==.由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB.故tanB==4.5.已知向量m=(sinx,cosx),n=(cosx,cosx),x∈R,设f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且a=1,b+c=2,f(A)=1,求△ABC的面积.解 (1)f(x)=m·n=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,可得,-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.(2)∵f(A)=1,∴sin(2A+)=,∵0
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